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几种重要的平面曲线  

2012-08-10 18:38:58|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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 1.“对数螺线”又称“等角螺线”,动点的极半径ρ的对数于极点的极角θ的比如果是一个常量,这个动点的轨迹叫对数螺线(摘自数学小词典—测绘出版社),

平面曲线—对数螺线【原创】 - 朽木秃翁 -   

2. 圆的渐开线
  把一条没有弹性的细绳绕在一个定圆上,拉开绳子的一端并拉直,使绳子与圆周始终相切。绳子端点的轨迹是一条曲线。这条曲线叫做圆的渐开线。这个定圆叫做渐开线的基圆。r为圆的半径,t是圆的半径所经过的角度(滚动角),圆的渐开线的参数方程是

      x=r (cost + tsint)

      y=r (sint - tcost)


平面曲线 - - 圆的渐开线: - 朽木秃翁 -  
3.阿基米德螺线

 曲线为一动点以常速v沿一条射线运动,而这一射线又以定角速度ω绕极点O转动时,该动点所描成的轨迹。方程:ρ=aφ中a=v/ω
平面曲线--阿基米德螺线【原创】 - 朽木秃翁 -  
4.连锁螺线【引用】   

方程: ρ2*φ=a2

曲线是当N在x轴上移动时,使圆扇形OMN的面积保持一定(a2/2)的点M的轨迹。

  渐进点  极点O(当φ→∞)

  渐进线  x 轴(当φ→0时)

以上内容摘自《数学手册》--高等教育出版社。


平面曲线 -- 连锁螺线【原创】 - 朽木秃翁 -     平面曲线 -- 连锁螺线【原创】 - 朽木秃翁 -  

5.外旋轮线  “外旋轮线”又称“外摆线”,方程是:

    x = (a+b) cost - bcos( (a+b)/b*t )

    y = (a+b) sint - bsint( (a+b)/b*t )

其中a为定圆半径,b为动圆半径。


平面曲线--外旋轮线【原创】 - 朽木秃翁 -  平面曲线--外旋轮线【原创】 - 朽木秃翁 -  
 
平面曲线--外旋轮线【原创】 - 朽木秃翁 -  平面曲线--外旋轮线【原创】 - 朽木秃翁 -  
 
平面曲线--外旋轮线【原创】 - 朽木秃翁 -  平面曲线--外旋轮线【原创】 - 朽木秃翁 -  

曲线是一圆周沿另一圆周的外部滚动而无滑动时,圆周上一点M所描成的轨迹。曲线的形状由m=a/b的值而定。

1)当m=1时,曲线是心脏线

2)当m为整数时,曲线由m支组成,动点M描完m支后(即动圆绕定圆一周),返回起始位置

3)当m为分数(m=g/h ,g、h为互素的整数)时,曲线由g支组成,动点M描完g支后(即动圆绕定圆h周),返回起始位置

4)当m为无理数时(m≠g/h),有无穷多的分支,动点M不能返回到起点位置

尖点 Ak( ρ = a,φ = (2(k-1)π)/m )

定点 Bk( ρ = a+2b, φ =(2π)/m(k-1/2) )

(式中的k为整数,当m为整数时1≤k≤m,当m=g/h时, 1≤k≤g;当m为无理数时,1≤k≤∞)

曲线长(一支) LA1 B1 A2 = ( 8(a+b) )/m

曲率半径 R = ( 4b(a+b) )/(a+2b)sin( (aφ)/(2b) )

扇形 A1 B1 A2 A1的面积(不包括定圆的面积)

S=(πb2)/a(3a+2b)

6.圆内旋轮线  “圆内旋轮线”又称“内摆线”,方程是:

       x = (a-b)cost + bcos( ((a-b)/b)t)

       y = (a-b)sint + bsin( ((a-b)/b)t)     (a为固定圆半径,b为动圆半径,t=∠COX)
平面曲线 -- 圆内旋轮线【原创】 - 朽木秃翁 -  平面曲线 -- 圆内旋轮线【原创】 - 朽木秃翁 -   

曲线是一圆周沿另一圆周的内部滚动而无滑动时,圆周上一点M所描成的轨迹。

     圆内旋轮线的尖点、定点的坐标,弧长,曲率半径及面积公式都和圆的外旋轮线一样,只把“+b”换成“-b”,m = a/b总是大于1,特别当m=4时,曲线有4支,称为星形线,其方程为:

x = acos3t

y = asin3t。全曲线长 L = 6a,曲线围成的面积 S = (3/8)πa2

平面曲线 -- 圆内旋轮线【原创】 - 朽木秃翁 -  平面曲线 -- 圆内旋轮线【原创】 - 朽木秃翁 -  
平面曲线 -- 圆内旋轮线【原创】 - 朽木秃翁 -  平面曲线 -- 圆内旋轮线【原创】 - 朽木秃翁 -  
 7.普通旋轮线(摆线)

     在平面上,一个动圆(发生圆)沿着一条固定的直线(基线)或固定圆(基圆)作纯滚动时,此动圆上一点的轨迹。

 r为圆的半径, t是圆的半径所经过的角度(滚动角),当t由0变到2π时,动点就画出了摆线的一支,称为一拱。过原

点半径为r的摆线参数方程为    x = r(t-sint)

                                      y = r(1-cost)

在这里实参数t 是在弧度之下,圆滚动的角度。对每一个给出的t ,圆心的坐标为 (rt, r)。
ActionScript 3 动画学作 – 普通旋轮线(摆线)【原创】 - 朽木秃翁 -  

8.心脏线

一个动圆,沿另一直径相等的固定圆周无滑动地滚动时,动圆上固定点的轨迹(一个尖点的外摆线) 

ActionScript 3 动画学作 – 数学心脏线【原创】 - 朽木秃翁 -  ActionScript 3 动画学作 – 数学心脏线【原创】 - 朽木秃翁 -  

以下内容摘自《数学手册》--高等教育出版社

尖点O(0,0);顶点( 2a,0 );极值点C、D( 3a/4,±(3a√3)/4 )

二重切线的切点E、F( -a/4, ±(a√3)/4 );曲线长L=8a;面积S=3/2πa2

a为圆的直径。

心脏线方程为:(x2+y2)2-2ax(x2+y2)=a2y2

或x = rcost( 1+ cost )

    y = rsint ( 1+ cost );       或ρ=a(1+cosφ)

9.  连锁线

    曲线是使PM1=PM2=OP的点M1,M2的轨迹(P为y轴上一点,M1,M2在过A,P两点的射线上)。


平面曲线—环锁线【原创】 - 朽木秃翁 -  

 

方程: y2=x2(a-x)/(a+x)

或     x=a(1-t2)/(1+t2)

        y=at(1-t2)/(1+t2)

       t=tgθ

或     ρ=a*cos2φ/cosφ

顶点  A(a,0);节点  O(0,0);渐近线  x=-a;圈套所围成的面积  S1=2a2-π/2*a2

曲线与渐近线之间的面积  S2=2a2+π/2*a2


平面曲线—环锁线【原创】 - 朽木秃翁 -  

10.平面曲线 -- 尼哥米德蚌线【引用】  

     曲线是使OM1=OP+b,OM2=OP-b的点M1,M2的轨迹(分别称为外支线(右)和内支线(左)) 。方程:(x-a)2(x2+y2)=b2x2

或   x=a±bcost

       y=atgt±bsint

或   Ρ=(a/cosφ)±b

(外支线取正号,内支线取负号)

外支线:顶点 A(a+b,0)

  拐点 B,C,它们的横坐标等于方程

    X3-3a2x+2a(a2-b2)=0 的最大根

平面曲线 -- 尼哥米德蚌线 - 朽木秃翁 -  

11.平面曲线—帕斯卡蜗线【引用】  
      (x2+y2-ax)2=b2(x2+y2)

或  x=acos2t+bcost

      y=acostsint+bsin

    或 ρ=acosφ+b(a为圆的直径)            


平面曲线—帕斯卡蜗线【原创】 - 朽木秃翁 -  
平面曲线—帕斯卡蜗线【原创】 - 朽木秃翁 -  
图中:① b<a  ② b=a  ③ a<b<2a  ④ b=2a  ⑤ b>2a

曲线是使OM=OP±b的点M的轨迹 (P点在直径为a的圆周上)。

顶点  Ak ,Bk (a±b,0)  (k=1,2,3,4,5),  B2与原点重合

结点  (b<a时) O(0,0), 在该点的切线的斜率为±√(a2-b2)/b, 该点的曲率半径为 

        1/2√(a2-b2)

尖  点 (b=a时) O(0,0)

孤立点 (b>a时) O(0,0)

极值点 当b<a时有4个, 当b≥a时有2个:

C’,D’和CK ,DK( cosφ=-b±√(b2-8a2)/(4a))  (k=1,2,3,4,5)

当b从0变到∞时, 所有极值点构成蔓叶线ρ=asin2φ/cosφ

拐  点 (a< b<2a时) E, F(cosφ=-(2a2+b2)/(3ab))

二重切线的切点(b<2a时):

Gk ,Hk (-b2/(4a),±b√(4a2-b2)/(4a)) (k=2,3)

这些切点在圆ρ=-acosφ上蜗线所围成的面积

S=(π/2)a2+πb2

(当b<a时, 内圈的面积计算了两次)

[注]  当b=a时, 即为心脏线。 

12.阻尼振动曲线【原创】  
  y=Ae-axsin(ωx+φ0)   ( A>0 )
平面曲线 – 阻尼振动曲线【原创】 - 朽木秃翁 -  

 

与x轴的交点

BK( (kπ-φ0)/ω, 0)  (k=1,2,3,……)

与y轴的交点

 C(0 , Asinφ0)

极值点 Ak的横坐标为

(kπ-φ0+a)/ω  (式中tga=ω/a)

拐点 DK的横坐标为

(kπ-φ0+2a)/ω  (式中tga=ω/a)

曲线与两条指数曲线

y=±Ae-axsin(ωx+φ0) 相切,切点

PK( ( (K+1/2)π-φ0)/ω,(-1)K Ae-ax  )


平面曲线 – 阻尼振动曲线【原创】 - 朽木秃翁 -  

 平面曲线—回旋曲线【原创】 - 朽木秃翁 -   平面曲线—回旋曲线【原创】 - 朽木秃翁 -  平面曲线—回旋曲线【原创】 - 朽木秃翁 -  

 





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