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识字一二千,出书三四篇。 年届五六十,憋诗七八年。 带徒九十届,桃李百花鲜。 难求千般好,过好几万天。

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平面曲线—帕斯卡蜗线【引用】  

2012-08-26 07:49:11|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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(x2+y2-ax)2=b2(x2+y2)

或  x=acos2t+bcost

      y=acostsint+bsin

    或 ρ=acosφ+b(a为圆的直径)            


平面曲线—帕斯卡蜗线【原创】 - 朽木秃翁 -  

 


平面曲线—帕斯卡蜗线【原创】 - 朽木秃翁 -  

 

图中:① b<a  ② b=a  ③ a<b<2a  ④ b=2a  ⑤ b>2a

曲线是使OM=OP±b的点M的轨迹 (P点在直径为a的圆周上)。

顶点  Ak ,Bk (a±b,0)  (k=1,2,3,4,5),  B2与原点重合

结点  (b<a时) O(0,0), 在该点的切线的斜率为±√(a2-b2)/b, 该点的曲率半径为1/2√(a2-b2)

尖  点 (b=a时) O(0,0)

孤立点 (b>a时) O(0,0)

极值点 当b<a时有4个, 当b≥a时有2个:

C’,D’和CK ,DK( cosφ=-b±√(b2-8a2)/(4a))  (k=1,2,3,4,5)

当b从0变到∞时, 所有极值点构成蔓叶线ρ=asin2φ/cosφ

拐  点 (a< b<2a时) E, F(cosφ=-(2a2+b2)/(3ab))

二重切线的切点(b<2a时):

Gk ,Hk (-b2/(4a),±b√(4a2-b2)/(4a)) (k=2,3)

这些切点在圆ρ=-acosφ上蜗线所围成的面积

S=(π/2)a2+πb2

(当b<a时, 内圈的面积计算了两次)

[注]  当b=a时, 即为心脏线。

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